[Trig] 사인법칙

사인법칙(sine rule)은 어떠한 삼각형(any triangle)에 대해서도 성립하는 공식(formula)으로서 다음과 같다.

 

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

 

여기서 \(a, \ b, \ c\) 는 삼각형(triangle)의 변(side)의 길이(length)이며, \(A, \ B, \ C\) 는 각 변과 마주보는 각(angles opposite those sides)이다.

 

 

사인법칙(sine rule)에 의하면 삼각형의 두 각(angle)과 한 변(side)의 길이를 안다면 다른 두 변의 길이를 알 수 있다.

예를 들면 다음과 같다. 다음 삼각형에서 변의 길이 \(b\) 와 \(c\) 를 구하는 문제다.

 

 

그러면 각(angle) \(C\) 는 \(∠C= \pi- \frac{2\pi}{9}- \frac{4\pi}{9}=\frac{\pi}{3}\) 이고 공식으로부터 변(side) \(b\) 와 \(c\) 의 길이는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} & \frac{27}{\sin \frac{2\pi}{9}} = \frac{b}{\sin \frac{4\pi}{9}} = \frac{c}{\sin \frac{\pi}{3}} \\ \\ & \ \ \ \to b= \left( \sin \frac{4\pi}{9} \right) \frac{27}{\sin \frac{2\pi}{9}} = 41.4 \\ \\ & \ \ \ \to c= \left( \sin \frac{\pi}{3} \right) \frac{27}{\sin \frac{2\pi}{9}} =36.4 \end{align} \]

 

이제 사인법칙을 증명해 보자.

 

 

위 삼각형 \(\Delta ABC\) 의 넓이(area)를 \(S\) 라고 하면 다음 식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} S= \frac{1}{2} a(b \sin C)= \frac{1}{2} b(c \sin A)= \frac{1}{2} c(a \sin B) \end{align} \]

 

위 식을 \( \frac{1}{2} abc\) 로 나누면,

 

\[ \begin{align} \frac{\sin C}{c}= \frac{\sin A}{a}= \frac{\sin B}{b} \end{align} \]

 

인데 각 변의 역수를 취하면 사인법칙이 증명된다.