그림과 같이 함수 \(f(x)\) 가 \(a \le x \le b\) 에서 정의되었을 때 구간 \([a, b ]\) 를 동일한 간격 \(\Delta x= \frac{b-a}{n}\) 으로 \(n\)개의 작은 구간으로 나눈다. \(x_0 (=a), \ x_1, \ x_2, \ … , \ x_n (=b)\) 를 각 구간의 끝점이라 하고, \(x_1^*, \ x_2^* \ , \ … \ , \ x_n^* \) 을 각 구간 내에 놓인 임의의 점이라고 하면, 곡선 \(f(x)\) 와 두 직선 \(x=a. \ x=b\) 로 둘러싸인 도형의 면적 \(S\) 는 다음과 같이 직사각형의 면적의 합의 극한이다.
\[ \begin{align} S= \lim_{n \to \infty} \Sigma_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x \tag{1} \end{align} \]
이 때 함수 \(f(x)\) 가 반드시 양의 함수일 필요는 없다.
이와 같은 면적을 계산하는 방법에 기반하여, 함수 \(f(x)\) 의 \(a\)에서 \(b\)까지의 정적분(definite integral)을 다음과 같이 정의한다.
\[ \begin{align} \lim_{n \to \infty} \Sigma_{i=1}^n f(x_i^*) \Delta x = \int_a^b f(x) \ dx \tag{2} \end{align} \]
여기서 적분 기호 \(\int\) 는 연속적으로 더한다는 의미에서 Sum의 앞글자 S를 길쭉하게 표기한 것이라고 한다.
정적분 \(\int_a^b f(x) \ dx\) 는 어떤 숫자이므로 변수 \(x\) 대신에 다른 변수를 사용해도 된다. 즉, 변수 \(x\)에 종속되지 않는다.
\[ \begin{align} \int_a^b f(x) \ dx= \int_a^b f(t) \ dt = \int_a^b f(y)\ dy \tag{3} \end{align} \]
구간 \([a, \ b]\) 에 속하는 임의의 점 \(x\)에 대하여 곡선 \(f(t)\) 와 두 직선 \(t=a. \ t=x\) 로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(x\)값에 따라 달라지므로 \(x\)의 함수가 된다. 이 도형의 넓이를 \(S(x)\)라고 하면, 정적분(definite integral)의 정의에 의하여 넓이는
\[ \begin{align} S(x)= \int_a^x f(t) \ dt \tag{4} \end{align} \]
가 된다.
도함수(derivative)의 정의에 의하면 \(S(x)\)의 도함수는 다음과 같다.
\[ \begin{align} S'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac{S(x+h)-S(x)}{h} \tag{5} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_a^{x+h} f(t) \ dt - \int_a^x f(t) \ dt \right) \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_a^x f(t) \ dt + \int_x^{x+h} f(t) \ dt - \int_a^x f(t) \ dt \right) \\ \\ &= \lim_{h \to 0 } \frac{1}{h} \left( \int_x^{x+h} f(t) \ dt \right) \end{align} \]
여기서 구간 \([x, \ x+h]\) 에서 함수 \(f(t)\) 의 최대 절대값을 \(M_{max}\), 최소 절대값을 \(M_{min}\) 이라고 하면 다음 식이 성립한다.
\[ \begin{align} M_{min} h \le \int_x^{x+h} f(t) \ dt \le M_{max} h \tag{6} \end{align} \]
또는
\[ \begin{align} -M_{max} h \le \int_x^{x+h} f(t) \ dt \le -M_{min} h \end{align} \]
\(h \to 0\) 이면 \(M_{max} \to f(x)\), \(M_{min} \to f(x)\) 이므로
\[ \begin{align} f(x) \le \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \int_x^{x+h} f(t) \ dt \right) \le f(x) \tag{7} \end{align} \]
가 된다. 즉 식 (5)는 다음과 같이 된다.
\[ \begin{align} S' (x) = \frac{dS(x)}{dx} =f(x) \tag{8} \end{align} \]
한편 함수 \(f(x)\)가 \(F(x)\)의 도함수이면 \(F(x)\)는 \(f(x)\)의 역-도함수(antiderivative) 또는 원시함수(primitive function)라고 한다. 즉,
\[ \begin{align} F'(x)=f(x) \tag{9} \end{align} \]
또한 \(F(x)\)와 \(S(x)\)가 모두 함수 \(f(x)\)의 역-도함수라고 하면 두 함수는 다음과 같은 관계를 갖는다.
\[ \begin{align} F(x)=S(x)+C \tag{10} \end{align} \]
여기서 \(C\)는 임의의 상수로서 위 식은 역-도함수가 유일하지 않다는 것을 의미한다. 즉, \(F(x)\)와 \(S(x)\)가 모두 함수 \(f(x)\)의 역-도함수라고 하면
\[ \begin{align} \frac{dF(x)}{dx}=f(x), \ \ \ \frac{dS(x)}{dx} =f(x) \end{align} \]
이므로
\[ \begin{align} \frac{d}{dx} (F(x)-S(x))= \frac{dF(x)}{dx}- \frac{dS(x)}{dx}=f(x)-f(x)=0 \end{align} \]
이다. 따라서 \(F(x)-S(x)=C\) 가 된다.
식 (4)와 (8)에 의하면 \(S(x)\)는 \(f(x)\)의 역-도함수이고 다음 관계식을 갖는다.
\[ \begin{align} S(a)= \int_a^a f(t) \ dt=0, \ \ \ S(b)=\int_a^b f(t) \ dt \tag{11} \end{align} \]
함수 \(F(x)\)도 \(f(x)\)의 역-도함수라면 \(F(x)=S(x)+C\) 이므로 식 (11)에 의하면,
\[ \begin{align} F(b)-F(a) &= (S(b)+C)-(S(a)+C) \tag{12} \\ \\ &=S(b) \\ \\ &= \int_a^b f(t) \ dt \end{align} \]
이 성립한다. 정리하면
\[ \begin{align} & \frac{dF(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \ dt=f(x) \tag{13} \\ \\ & \int_a^b \frac{dF(x)}{dx} \ dx =F(b)-F(a) \end{align} \]
이므로, 어떤 함수 \(f(x)\)를 적분한 후 미분하면 원래 함수로 돌아간다. 또한 어떤 함수 \(F(x)\)를 미분한 후 적분하면 원래 함수 \(F(x)\)로 돌아간다. 물론 정적분이므로 \(F(b)-F(a) \)의 형태로 돌아갔다.
식 (13)에 의하면 미분과 적분은 서로 역의 관계가 있다는 것을 알 수 있다. 이를 이용하면 다음과 같이 부정적분(indefinite integral)을 정적분과 동일한 적분 기호를 사용하여 정의할 수 있다.
\[ \begin{align} \frac{dF(x)}{dx}=f(x) \ \ ⟷ \ \ \int f(x) \ dx= F(x) \tag{14} \end{align} \]
즉 부정적분은 \(f(x)\)의 역-도함수 \(F(x)\)를 구하는 연산이다. 또한 부정적분은 정적분의 계산에 사용된다.
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