[Trig] 코사인법칙

코사인법칙(cosine rule)은 어떠한 삼각형(any triangle)에 대해서도 성립하는 공식(formula)으로서 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & a^2=b^2+c^2-2bc \cos A \\ \\ & b^2=a^2+c^2-2ac \cos B \\ \\ & c^2=a^2+b^2-2ab \cos C \end{align} \]

 

여기서 \(a, \ b, \ c\) 는 삼각형의 변(side)의 길이(length)이며, \(A, \ B, \ C\) 는 각 변과 마주보는 각(angles opposite those sides)이다. 그림에서 마주보는 각의 표시는 다음과 같이 표시하든가,

 

 

아니면 꼭지점(vertex) 위치에 표시하든가 한다.

 

 

코사인법칙에 의하면 삼각형의 세 변의 길이를 안다면 세 각(angle)을 모두 알 수 있고, 두 변의 길이와 끼인각(angle between them)의 크기를 안다면 다른 한 변의 길이를 알 수 있다.

예를 들면 다음과 같다. 다음 삼각형에서 \(\cos C\) 를 구하는 문제다.

 

 

그러면 \(c=6\) 이고 \(a\) 와 \(b\) 는 각각 \(5\) 와 \(7\) 로 두면 된다. 다음 공식으로 부터

 

\[ \begin{align} c^2=a^2+b^2-2ab \cos C \end{align} \]

 

\( \cos C\) 는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} \cos C= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{25+49-36}{2(5)(7)}= \frac{19}{35} \end{align} \]

 

이번에는 변 \(a\) 의 길이를 구하는 문제다.

 

 

\(A=120^0\) 로 놓고 다음 공식을 이용하여 계산하면 된다.

 

\[ \begin{align} a^2 &=b^2+c^2-2bc \cos A= 4+9-2(2)(3) \cos 120^0 \\ \\ &=13-12 \left( -\frac{1}{2} \right) \\ \\ &=19 \end{align} \]

 

따라서 \(a=\sqrt{19}\) 다.

이제 코사인법칙을 증명해 보자.

먼저 각 \(A\) 가 예각(acute angle)인 경우다. 아래 그림과 같이 선분 \(\overline{AC}\) 와 수직이 되도록 선분 \(\overline{BH}\) 를 긋는다.

 

 

그러면 선분 \(\overline{BH}\) 의 길이는 \(c \sin A\) 이고 선분 \(\overline{AH}\) 의 길이는 \(c \cos A\) 이다. 삼각형 BHC는 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해서,

 

\[ \begin{align} a^2 &= (b-c \cos A )^2+(c \sin A )^2 \\ \\ &=b^2-2bc \cos A+c^2 \cos^2 A+c^2 \sin^2 A \\ \\ &=b^2-2bc \cos A+c^2 \end{align} \]

 

가 된다.

이번에는 각 \(A\) 가 둔각(obtuse angle)인 경우다. 아래 그림과 같이 선분 \(\overline{AC}\) 를 연장한 선분 \(\overline{HC}\) 와 수직이 되도록 선분 \(\overline{BH}\) 를 긋는다.

 

 

그림에서 각 \(\theta =180^0-A\) 다. 그러면 선분 \(\overline{BH}\) 의 길이는 \(c \sin \theta\) 이고 선분 \(\overline{AH}\) 의 길이는 \(c \cos \theta\) 이다. 삼각형 BHC는 직각 삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해서,

 

\[ \begin{align} a^2 &= (b+c \cos \theta )^2+(c \sin \theta )^2 \\ \\ &=b^2+2bc \cos \theta +c^2 \cos^2 \theta +c^2 \sin^2 \theta \\ \\ &=b^2+2bc \cos \theta +c^2 \\ \\ &=b^2+2bc \cos (180^0-A )+c^2 \\ \\ &=b^2-2bc \cos A+c^2 \end{align} \]

 

가 된다.

따라서 각 \(A\) 가 둔각이든, 예각이든 동일한 식을 유도할 수 있다.

각 \(A\) 가 직각(right angle)인 경우에는 피타고라스 정리와 \(cos A= \cos 90^0 =0\) 임을 이용하면 자연스럽게 \(a^2=b^2+c^2-2bc \cos A\) 가 성립함을 알 수 있다.

 

 

\(b^2\) 과 \(c^2\) 에 관한 식도 동일한 방법으로 유도할 수 있다.